rangkuman +soal dari semua materi

Nama:marsya anggita 

Absen:18

Kelas:XI IPA 1

*PERSAMAAN TRIGONOMETRI*

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri dari sudut yang belum diketahui nilainya. Pada prinsipnya, persamaan trigonometri sama dengan persamaan linear atau kuadrat. Hal yang membedakan adalah himpunan penyelesaian pada persamaan trigonometri berupa besaran sudut.

a. Persamaan sinus

• Sudut dalam satuan derajat : 

sin x = sin a°

x =a + k . 360°

x= (180° - a)+k . 360°

• Sudut dalam satuan radian : 

sin x = sin a

x = a + k × 2π

( Untuk k merupakan konstanta bilangan

bulat. )

b.Persamaan cosinus

• Sudut dalam satuan derajat : 

Cos x = cos a°

x = a° + k × 360°

• Sudut dalam satuan radian : 

Cos x = cos a 

x = a + k + 2π

( Untuk k merupakan konstanta bilangan

bulat. )

C. Persamaan Tangen

• Sudut dalam satuan derajat : 

tan x = tan a°

x = a° + k × 180°

• Sudut dalam satuan radian : 

tan x = tan a

x = a + k × π

Contoh soal 

Tentukan himpunan penyelesaian sin x = untuk 0 ≤ x ≤ 360°!

Jawaban:

sin x = 1/2 √3 (untuk 0 ≤ x ≤ 360°)

sin x = sin 60° maka:

x = 60° + k ⋅ 360°

- k = 0 → x = 60° + 0 ⋅ 360° = 60°

- k = 1 → x = 60° + 1 ⋅ 360° = 420° (tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤ 360°)

x = (180° – 60°) + k ⋅ 360°

• k = 0 → x = 120° + 0 ⋅ 360° = 120°

• k = 1 → x = 120° + 1 ⋅ 360° = 480° (tidak memenuhi karena 0 ≤ x ≤ 360°)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°,120°}.

*IDENTITAS TRIGONOMETRI PENJUMLAHAN DAN SELISIH DUA SUDUT*

Berdasarkan sin, cos, dan tan, rumus ini dibagi menjadi 3 kelompok sebagai berikut:

1.Rumus penjumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan cos:

 •Cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B 

 •Cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B

2.Rumus penjumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan sin:

 •Sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B 

 •Sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B 

 3.Rumus jumlah dan selisih dua sudut apabila menggunakan tangen:

Contoh soal 

Diketahui sin A = 5/13 , sin B = 7/25, dan dan merupakan sudut tumpul 

a. Tentukan sin (A + B)

Penyelesaian:

a. Diketahui:

    - sin A = 5 / 13, maka cos A= -12 / 13

    - sin B = 7 / 25, maka cos B = -24 / 25

    Ditanya:

    Nilai Sin(A + B)

    Jawab:

    Sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

                       =(5/13)(-24/25) + (-12/13)(7/25)

                       =(-120/325) + (-84/325)

                       =-204/325

     Jadi nilai dari Sin(A+B) adalah -204/325

*IDENTITAS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP*

(1). Identitas Sinus,Kosinus,dan Tangen untuk Sudut Rangkap

a. Identitas Sinus Sudut Rangkap

sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b

sin (a+a) = sin a cos a + cos a sin a

     sin 2a = sin a cos a + sin a cos a

     sin 2a = 2sin a cos a

b. Identitas Cosinus Sudut Rangkap

cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b

cos (a+b) = cos a cos a - sin a sin a

      cos 2a = cos² a - sin² a

sin²a + cos²a = 1

           sin²a = 1 - cos²a

           cos²a = 1 - sin²a

cos 2a = cos²a - sin²a

           = cos²a - (1 - cos² a)

           = cos²a - 1 + 1 cos² a

           = 2cos²a - 1

  cos 2a = 2cos² a - 1

  cos 2a = cos² a - sin²a

             = (1 - sin² a) - sin² a

             = 1 - 2sin²a

   cos 2a = 1 - 2 sin² a

c. Identitas Tangen Sudut Rangkap

tan(a+b) = tan a + tan b / 1 - tan a tan b

tan(a+b) = tan a + tan a / 1 - tan a tan a

  tan 2a = 2 tan a / 1 - tan² a

•Contoh Soal :

Nilai dari 1 - 2 sin² 67,5° =....

Pembahasan;

cos 2a = 1 - 2 sin²a 

=> 1 - 2sin² a = cos 2a

     1 - 2sin² 67,5° = cos 2 (67,5°)

                            = cos 135°

                            = - cos 45°

                            = -1/2√2.

*IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS* 

A. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus

• sin a cos B = 1/2 [sin (a + B) + sin (a - B)]

• cos a sin B = 1/2 [sin (a + B) - sin (a - B)]

• cos a cos B = 1/2 [cos (a + B) + cos (a - B)]

• sin a sin B = -1/2 [cos (a + B) - cos (a - B)]

B. Identitas Penjumlahan/Selisih Sinus dan Kosinus

• sin a + sin B = 2 sin 1/2 (a + B) cos 1/2 (a - B)

• sin a - sin B = 2 cos 1/2 (a + B) sin 1/2 (a - B)

• cos a + cos B = 2 cos 1/2 (a + B) cos 1/2 (a - B)

• cos a - cos B = -2 sin 1/2 (a + B) sin 1/2 (a - B)

Contoh soal :

• Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus :

1. Tentukan nilai trigonometri dari sin 75° sin 15°

Jawab : 

 sin a sin B = -1/2 [cos(a +B) - cos (a -B)

 sin 75° sin 15° = -1/2 [cos(75° + 15°) - cos (75° - 15°)

   = -1/2 [cos 90° - cos 60°]

   = -1/2 [ 0 - 1/2]

   = -1/2 [-1/2]

   = 1/4

2.Tentukan nilai trigonometri dari cos 75° + cos 15°

Jawab :

cos a + B = 2 cos 1/2 (a + B) cos 1/2 (a - B)

cos 75° + cos 15° = 2 cos 1/2 (75° + 15°) cos 1/2 (75° - 15°)

  = 2 cos 1/2 (90°) cos 1/2 (60°)

  = 2 cos 45° cos 30°

  = 2 × 1/2 √2 × 1/2√3

  = 1/2√6